חיפוש אחר שורשים בעקבות הראב''ע

המאמר מופעי גם באתר המחבר.

בפירוש הראב''ע^* לפרשת משפטים, [ראה הרחבה בעניין זה בספר: ''אמר אברהם המחבר'' מאת א' בן עזרא בהוצאת ''אקדמון'' עמ' 46], קובע הראב''ע כי האדם לעולם לא יוכל להגיע אל שורשו של המספר 2.

אכן, המספר √2 הוא מספר אירציונאלי ולכן כתיבת √2 בצורת שבר עשרוני היא אינסופית, ואי אפשר למצוא שני מספרים טבעיים a ו-b באופן ש-a÷b=√2.

אנו יכולים להתקרב מאוד אל השורש של 2 אך לא נוכל להגיע עדיו באמצעים דלעיל.

להלן דרך מוצעת להתקרב אל השורש של 2:

הבסיס לכך תהיה המשוואה y=x²-2.

ברור כי כאשר y=0 אז x=√2, אלא ששוב אנו מגיעים אל מספר שכתיבתו בלתי אפשרית. לכן נגיע אל השורש על ידי הקטנת y בהדרגה, וללא הגבלה, עד אשר נחליט לעצור לאות כי רמת הדיוק משביעה את רצוננו.

דרוש לאתר ערכים זעירים עבור הביטוי x²-2 שיסומן e. ועוד, e הנ''ל צריך להיות מספר הניתן לרישום ולביטוי באמצעות מספרים טבעיים. יהיו a ו-b מספרים טבעיים כך ש-e=a÷b ולפיכך מתקבל השוויון הבא:

קירוב ראשון

e=100
נבחר b=e²=10000 כדי שבמכנה של הביטוי שבמסגרת יהיה ריבוע מלא, ונאתר את הערך הכי קטן של a כך שיתקבל גם במונה ריבוע מלא לערך של x.
כלומר, הביטוי a+2b צריך להיות גדול מ-‏2b והכי קרוב ל-‏2b בתנאי שיהיה ריבועי.
2b=20000

המספר השלם הגדול מ-‏20000 הכי קטן המהווה ריבוע הוא 20164. לפיכך יהא a=164, והקירוב של x הוא כדלקמן:

x2 =

a+2b b

x2 =	164+20000 10000

x=1.42

קירוב שני

e=1000
נבחר b=e²=1000000

המספר השלם המהווה ריבוע אשר הוא הכי קרוב ל-‏2b וגם גדול מ-‏2b הוא 2002225 ולכן מתקבל a=2225

x2 =	2225+2000000 1000000

x=1.415

קירוב שלישי

e=10000
נבחר b=e2=100000000

המספר השלם הגדול מ-‏2b והכי קרוב לו אשר גם מהווה ריבוע מלא הוא 200024449
ולפיכך מתקבל:

x2 =	24449+200000000 100000000

x=1.4143

קירוב רביעי

e=100000
b=10000000000
בנסיבות, a=44772

x2 =	44772+20000000000 10000000000

x=1.414215145

[להשוואה – הערך היותר מדויק של שורש 2 הוא ...1.414213562].

עינינו הרואות כי בדרך זו אנו יכולים להתקרב אל הערך של 2√ עד להגעה אל הדיוק בו נסתפק.

---

* רבי אברהם אבן עזרא, 1090-1165, פרשן תנ''ך, משורר, מתמטיקאי, פילוסוף, יהודי מחכמי ספרד שהרבה לנדוד בעולם; חיבר כמאה ספרים שמחציתם ידועים.

---