אינדוקציה ביולוגית, אינדוקציה מתמטית

ד''ר אברהם בן עזרא

אינדוקציה ביולוגית: היום זרח השמש, אתמול זרח השמש, שלשום זרח השמש, וכן הלאה מדי יום ביומו במבט לאחור ככל שידיעותינו משיגות.
מסקנה: מחר יזרח השמש.

אינדוקציה מתמטית: אם בבדיקה עבור n=1 ו-n=2 הכלל המתמטי הרשום כשהוא כולל את n (מספר טבעי) - נכון, ובנוסף, בהנחה כי הכלל נכון לגבי n מוכח כי הוא נכון גם לגבי n+1, אזי הכלל הרשום הוא נכון.

לאמור, במתמטיקה הניסיון אינו מהווה הוכחה, ודרושה הוכחה מתמטית צרופה.
לעתים נדמה למי שאינו בקי בתורת המתמטיקה, כי המתמטיקאים מערימים על עצמם קשיים מיותרים למעלה מהדרוש, כי הרי אם משוואה מסוימת נכונה, או כלל מסוים נכון, לגבי שורה ארוכה ביותר של מקרים פרטיים – מוטב לקבל את הכלל [או את המשוואה] כנבונים, אף אם ההוכחה הצרופה קשה למדיי ולמעשה לא ידועה כלל.
לדוגמא, מספרי מרסן [מרין מרסן, מתמטיקאי צרפתי שיצר במאה השבע עשרה], שצורתם הכללית היא: 2ⁿ-1, בהם n הוא מספר טבעי. הבה ונבדוק השערה כי כאשר n הוא מספר ראשוני, אז גם מספר מרסן התואם לו הוא ראשוני.
[מספר טבעי הוא מספר חיובי ושלם. מספר ראשוני הוא מספר טבעי שאינו מתחלק (ללא שארית) אלא לעצמו ול-‏1, להבדיל ממספר מורכב המתחלק למספרים אחדים. כמובן שכל מספר זוגי פרט ל-‏2 הוא גם מורכב].
בבחינת ההשערה הנ''ל אנו מקבלים תוצאות חיוביות כלהלן:

2²-1=3

2³-1=7
2⁵-1=31
2⁷-1=127

כל התוצאות הם מספרים ראשוניים, אך אם נמשיך הלאה נגיע ל – 2¹¹-1=2,047.
והמספר 2,047 אינו ראשוני אלא מורכב (23×89). לפיכך, לו היינו מסיקים מסקנה נמהרת בשיטת האינדוקציה הביולוגית, על סמך בדיקת מספרי מרסן בהצבת n שווה ל-‏2, 3, 5 ו-‏7, שכולם ראשונים והם יוצרים מספרי מרסן שאף הם כולם ראשונים, היינו כמובן נתפשים לכלל טעות, וכן ראה טעות אחרת באותו סגנון בפרק: ''הכלל שכלל אינו כלל'' בספרי ''מחשבתחילה'' שבהוצאת ''קרטוב''.

המתמטיקאי ליאונרד אוילר, שיצר במאה ה-‏18, הוכיח כי סכום שתי חזקות שלישיות של מספרים טבעיים לעולם לא יתנו תוצאה שאף היא מספר מעוקב [מספר שהוא חזקה שלישית]. לאמור, רק סכום של 3 מספרים מעוקבים יכול וייתן תוצאה שהיא מספר מעוקב. הוא הניח [ללא הוכחה] כי כך הם פני הדברים גם לגבי חזקות גבוהות יותר, לדוגמא, שוב כשמדובר במספרים טבעיים, דרושים לפחות 4 מספרים בחזקה רביעית כדי לקבל מסכומם תוצאה שהיא חזקה רביעית, וכמו כן, דרושים לפחות 5 מספרים בחזקה חמישית כדי שסכומם ייתן מספר שהוא חזקה חמישית.

השערה זו של אוילר – אף שלא הוכחה – החזיקה מעמד כאילו הייתה הוכחה לכל דבר זמן רב, אך כיום ברור כי השערה זו אינה נכונה. כדי שהוכחה במתמטיקה תהיה לא נכונה – צריך שהיא תכלול טעות בפיתוח המתמטי, לא כן לגבי השערה.

לדוגמא – גילו המתמטיקאים לנדר ופרקין בשנת 1966 כי –

27⁵+84⁵+110⁵+133⁵=144⁵

דבר שסותר את השערת אוילר, כי כאן סכום ארבע חזקות בדרגה חמש נותן מספר שהוא חזקה חמישית.

להלן הסבר כיצד אפשר ליצור משוואה שתפתיע את המעיין רק כעבור מספר ניסיונות רב, רצוני ככל שנחפוץ.

נבחן את המשוואה שלהלן:

y=x⁵-10x⁴+35x³-50x²+24x+10.

ונבדוק, מהו ערכו של y עבור x שווה 0, 1, 2, וכו'.

ניווכח כי עבור x=0 מתקבל y=10, ולמרבה ההפתעה גם עבור x=1 x=2 x=3 x=4
מתקבלות תוצאות זהות – y=10.

אל לנו להסיק כי גם הלאה, עבור מספרים טבעיים, תתקבל אותה התוצאה, כי הדבר מופר כבר עבור x=5.

סיבת הדבר נעוצה בעובדה המתמטית כי את אותה המשוואה אפשר לכתוב גם כך:

y=10+x[(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)].

ומכאן ברור כי עבור כל הערכים של x מאפס ועד 4 במספרים שלמים התוצאה היא אחת y=10, וזאת לאור איפוס האיבר המורכב של המשוואה בכל המקרים הללו. וכמובן שבאותה שיטה, אם נרצה לכתוב משוואה בה בהצבת x=0 עד x=1,000,000 במספרים שלמים יהיו כל התוצאות y=10 – אין פשוט מזה, ולהלן המשוואה:

y=10+x[(x-1)(x-2).. ..(x-1,000,000)].

לגבי כל הערכים אפס עד 1,000,000 במספרים שלמים יהיו כל התוצאות y=10, וברור כי עבור כל ערך של x הגדול מ-‏1,000,000 יהיה הערך של y שונה מ-‏10, ולא נוכל להכיל כאן את ההסקה על פי האינדוקציה הביולוגית כלל ועיקר...

הצגת המאמר בלבד

אינדוקציה; ממש מעניין

מהנדס (יום ראשון, 27/06/2004 שעה 10:26)